小船渡河模型：高中物理中的速度关联问题探讨

本文针对高中物理课程中的小船渡河模型及其关联速度问题展开讨论。首先介绍了小船渡河模型的基本原理，包括河流速度、小船速度和航向角等要素。接着探讨了小船渡河过程中两个关键问题：河流速度对小船渡河时间的影响和小船航向角的调整。文章结合实际案例和数学模型，通过理论分析及实际演示，揭示了小船渡河模型与速度问题之间的密切关联。本文旨在帮助学生理解物理知识与实际问题的联系，提高解决问题的能力，并应用所学知识解决实际生活中的问题。

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的实际运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际运动效果进行分解。

分运动与合运动的关系：

（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果互不干扰。

（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

小船渡河和关联速度问题等是运动的合成与分解的典型问题。

一、速度的分解要从实际情况出发

当两个物体通过绳子连接在一起的时候，则这两个物体的速度就有关系，在类问题就叫做关联速度问题。如物体的速度方向与绳子的取向不一致，就要分解。

解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。

例1、如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。

图1

分析：对物体A的运动进行分析，当物体A向左移动，θ将逐渐变大，逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。

分解法：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图1所示，由此可得。

微元法：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以△t得：

即收绳速率，因此船的速率为：

图2

此种情况下的微元法是设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。

能量转化法：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为，因为所以。

例2、如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？

图3

解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。

当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：

重力做功的数值为：

当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度和绕定滑轮逆时针转动的分速度，其中沿绳斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：

以重物为研究对象，根据动能定理得：

二、小船渡河

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

例3、一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：

1.怎样渡河时间最短？

2.若，怎样渡河位移最小？

3.若，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当时，（最大）。所以，船头与河岸垂直。

图4

（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。

图5

因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据

图6

船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：

此时渡河的最短位移：

例4、小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）

A.小船渡河的轨迹为曲线

B.小船到达离河岸处，船渡河的速度为

C.小船渡河时的轨迹为直线

D.小船到达离河岸处，船的渡河速度为

答案：A

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