2.若(12)2a+1<(12)3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(12,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,12)
解析:选B.函数y=(12)x在R上为减函数,
∴2a+1>3-2a,∴a>12.
3.下列三个实数的大小关系正确的是( )
A.(12011)2<212011<1 B.(12011)2<1<212011
C.1<(12011)2<212011 D.1<212011<(12011)2
解析:选B.∵12011<1,∴(12011)2<1,212011>20=1.
4.设函数f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,则( )
A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2)
C.f(2)<f(-2) D.f(-3)>f(-2)
解析:选D.由f(2)=4得a-2=4,又a>0,∴a=12,f(x)=2|x|,∴函数f(x)为偶函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
5.函数f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
解析:选A.u=2x+1为R上的增函数且u>0,
∴y=1u在(0,+∞)为减函数.
即f(x)=12x+1在(-∞,+∞)上为减函数,无最小值.
6.若x<0且ax>bx>1,则下列不等式成立的是( )
A.0<b<a<1 B.0<a<b<1
C.1<b<a D.1<a<b
解析:选B.取x=-1,∴1a>1b>1,∴0<a<b<1.
7.已知函数f(x)=a-12x+1,若f(x)为奇函数,则a=________.
解析:法一:∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,
∴f(0)=0,即a-120+1=0.
∴a=12.
法二:∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即a-12-x+1=12x+1-a,解得a=12.
答案:12
8.当x∈[-1,1]时,f(x)=3x-2的值域为________.
解析:x∈[-1,1],则13≤3x≤3,即-53≤3x-2≤1.
答案:-53,1
9.若函数f(x)=e-(x-u)2的最大值为m,且f(x)是偶函数,则m+u=________.
解析:∵f(-x)=f(x),
∴e-(x+u)2=e-(x-u)2,
∴(x+u)2=(x-u)2,
∴u=0,∴f(x)=e-x2.
∵x2≥0,∴-x2≤0,∴0<e-x2≤1,
∴m=1,∴m+u=1+0=1.
答案:1
10.讨论y=(13)x2-2x的单调性.
解:函数y=(13)x2-2x的定义域为R,
令u=x2-2x,则y=(13)u.列表如下:
u=x2-2x
=(x-1)2-1 y=(13)u
y=(13)x2-2x
x∈(-∞,1]
x∈(1,∞)
由表可知,原函数在(-∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
11.已知2x≤(14)x-3,求函数y=(12)x的值域.
解:由2x≤(14)x-3,得2x≤2-2x+6,
∴x≤-2x+6,∴x≤2.∴(12)x≥(12)2=14,
即y=(12)x的值域为[14,+∞).
12.已知f(x)=(12x-1+12)x.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求证:f(x)>0.
解:(1)由2x-1≠0,得x≠0,
∴函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.
(2)在定义域内任取x,则-x在定义域内,
f(-x)=(12-x-1+12)(-x)=(2x1-2x+12)(-x)
=-1+2x21-2xx=2x+122x-1x,
而f(x)=(12x-1+12)x=2x+122x-1x,
∴f(-x)=f(x),
∴函数f(x)为偶函数.
(3)证明:当x<0时,由指数函数性质知,
0<2x<1,-1<2x-1<0,
∴12x-1<-1,
∴12x-1+12<-12.
又x<0,∴f(x)=(12x-1+12)x>0.
由f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)>0.
综上,当x∈R,且x≠0时,函数f(x)>0.